解答題

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

(1)

求雙曲線C的方程；

(2)

若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

(3)

設(shè)直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過M(－2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

答案：
解析：

(1)

解：設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0

∵該直線與圓相切，

∴雙曲線C的兩條漸近線方程為……………………………………………2分

故設(shè)雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為

∴，∴雙曲線C的方程為……………………………4分

(2)

解：若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF2到T，使|QT|＝|OF1|

若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點(diǎn)T，使|QT|＝|QF1|

根據(jù)雙曲線的定義|TF2|＝2，所以點(diǎn)T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是①………………………………………6分

由于點(diǎn)N是線段F1T的中點(diǎn)，設(shè)N(x，y)，T()

則

代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為…………………8分

(3)

解：由

令

直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程上有兩個(gè)不等實(shí)根．

因此……………………………………………10分

又AB中點(diǎn)為

∴直線L的方程為……………………………………12分

令x＝0，得

∵∴

∴故b的取值范圍是………………………14分


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(1)

求雙曲線C的方程；

(2)

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(3)

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