Question

已知橢圓C : 上點到兩焦點的距離和為，短軸長為，直線l與橢圓C交于M、 N兩點.

（Ⅰ）求橢圓C方程；

（Ⅱ）若直線MN與圓O :相切，證明：為定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）;(3)．

【解析】

試題分析：(1)利用橢圓的定義進行求解；（2）利用圓心到直線的距離，求出直線的斜率與截距的關(guān)系，再利用平面向量的數(shù)量積求證角為定值；（3）利用三角換元進行求解.

試題解析：（Ⅰ）由橢圓C: 上點到兩焦點的距離和為，

得2a=，即 ；由短軸長為，得2b=，即

所以橢圓C方程：

（Ⅱ）當(dāng)直線MN軸時，因為直線MN與圓O:相切，所以直線MN方程：x=或x=-，當(dāng)直線方程為x=，得兩點分別為（，）和（，-），故=0，可證=；同理可證當(dāng)x=-，=；

當(dāng)直線MN與x軸不垂直時，設(shè)直線MN：y=kx+b，直線MN與圓O:的交點M，N

由直線MN與圓O相切得：d=，即25 ①;

聯(lián)立y=kx+b，，得，

因此，=-，=；

由=+=+

=（1+k）+kb（）+b= ②；

由①②得=0，即=；

綜上=（定值）.

（Ⅲ）不妨設(shè)，則，

由三角函數(shù)定義可知:M（cos，sin），N（sin，cos）

因為點M、N都在上，

所以=， =

=

=（）（）

=916+（9-16）2

=916+（9-16），

又[0，1]，故（）[916，（）]

因此 [].

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.直線與橢圓的位置關(guān)系.