Question

已知點(diǎn)A（1，-1），B（4，0），C（2，2）．平面區(qū)域D由所有滿足

AP

=λ

AB

+μ

AC

（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的點(diǎn)P（x，y）組成的區(qū)域．若區(qū)域D的面積為8，則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），由已知求出向量

AB

，

AC

的坐標(biāo)，進(jìn)而可得cos∠BAC值，求出sin∠BAC后要，可得區(qū)域D的面積S=

10

(a-1)×

10

(b-1)×sin∠BAC，進(jìn)而根據(jù)基本不等式可得a+b≥4．

解答： 解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)A（1，-1），B（4，0），C（2，2）．
∴

AB

=（3，1），

AC

=（1，3），
則cos∠BAC=

AB • AC

| AB |•| AC |

=

3+3

10 • 10

=

3

5

，
故sin∠BAC=

1-cos2∠BAC

=

4

5

，
若平面區(qū)域D由所有滿足

AP

=λ

AB

+μ

AC

（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的點(diǎn)P（x，y）組成的區(qū)域．
則區(qū)域D的面積S=

10

(a-1)×

10

(b-1)×sin∠BAC=8[ab-（a+b）+1]=8，
即ab-（a+b）=0，
即

(a+b)2

4

-(a+b)≥0，
解得a+b≥4，或a+b≤0（舍），
即a+b的最小值為4，
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的基本定理，其中求出區(qū)域D的面積S=

10

(a-1)×

10

(b-1)×sin∠BAC，是解答的關(guān)鍵．