(1)若f(x)的圖象與直線5x-y-8=0相切,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x=1處取極值,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)b=1時(shí),試證明:不論a取何實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
解;(1)f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab.
由題意f′(2)=5,f′(1)=0,代入上式,解之得a=1,b=1.
(2)當(dāng)b=1時(shí),令f′(x)=0,得方程3x2-2(a+1)x+a=0.
因Δ=4(a2-a+1)>0,故方程有兩個(gè)不同實(shí)根 x1,x2.
不妨設(shè)x1<x2,由f′(x)=3(x-x1)(x-x2)可判斷f′(x)的符號(hào)如下:
當(dāng)x<x1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x1<x<x2時(shí),f′(x)<0;當(dāng) x>x2時(shí), f′(x)>0.
因此x1是極大值點(diǎn),x2是極小值點(diǎn).
所以,當(dāng)b=1時(shí),不論a取何實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
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