Question

3．關(guān)于x的方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=kx+2有唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $\left\{{±\sqrt{3}}\right\}$
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，2）
• D． $（{-∞，-2}）∪\left\{{±\sqrt{3}}\right\}∪（{2，+∞}）$

Answer 1

分析 由題意，方程左邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓的上半圓，右邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是經(jīng)過定點(diǎn)C（0，2）且斜率為k的一條直線．可得當(dāng)直線與半圓相切時(shí)或直線在x軸上的交點(diǎn)位于（-1，0）和（1，0）之間時(shí)，原方程有唯一的實(shí)數(shù)解．由此建立關(guān)于k的代數(shù)關(guān)系式，即可得到實(shí)數(shù)k的范圍．

解答 解：設(shè)y₁=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓的上半圓（含端點(diǎn)A、B）
設(shè)y₂=kx+2，表示經(jīng)過定點(diǎn)C（0，2）且斜率為k的一條直線
當(dāng)直線y₂=kx+2與半圓y₁=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相切時(shí)，原方程有唯一解
此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離等于1，得$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解之得k=±$\sqrt{3}$，
當(dāng)直線在x軸上的交點(diǎn)位于A、B之間時(shí)，原方程也有唯一解
∵k_AC=2且k_BC=-2，
∴線在x軸上的交點(diǎn)位于A、B之間時(shí)，k＜-2或k＞2
綜上所述，原方程有唯一實(shí)數(shù)解時(shí)，k＜-2或k＞2或k=±$\sqrt{3}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題給出方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求參數(shù)k的值或范圍．著重考查了直線方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．