Question

已知正方形的邊長(zhǎng)為2，分別是邊的中點(diǎn)．

（1）在正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，求滿足的概率；

（2）從這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，記這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）首先判斷這是一個(gè)幾何概型，然后找出符合條件的區(qū)域與總區(qū)域的面積，利用面積之比即可算出相應(yīng)的古典概型的概率；（2）先確定這八個(gè)點(diǎn)連線距離的幾種情況，然后就不同的的值進(jìn)行計(jì)算，利用離散型隨機(jī)變量的計(jì)算方法列表并計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望。

試題解析：（1）這是一個(gè)幾何概型．所有點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域是正方形的內(nèi)部，其面積是．

                                                                      1分

滿足的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域是以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部與正方形內(nèi)部的公共部分，它可以看作是由一個(gè)以為圓心、為半徑、圓心角為的扇形的內(nèi)部（即四分之一個(gè)圓）與兩個(gè)直角邊為1的等腰直角三角形（△和△）內(nèi)部構(gòu)成．                        2分

其面積是．      3分

所以滿足的概率為．       4分

（2）從這八個(gè)點(diǎn)中，任意選取兩個(gè)點(diǎn)，共可構(gòu)成條不同的線段．

                                                                   5分

其中長(zhǎng)度為1的線段有8條，長(zhǎng)度為的線段有4條，長(zhǎng)度為2的線段有6條，長(zhǎng)度為的線段有8條，長(zhǎng)度為的線段有2條．

所以所有可能的取值為．                    7分

且，         ，         ，

，       ．                9分

所以隨機(jī)變量的分布列為：

10分

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為

．          12分

考點(diǎn)：幾何概型、古典概型、排列組合、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望