Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為3，則
（Ⅰ）m=

 

；
（Ⅱ）對(duì)任意a∈R，f（x）在[a，a+20π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用函數(shù)的最大值，求得m的值．
（Ⅱ）根據(jù)已知推斷區(qū)間的長(zhǎng)度為20π，求得函數(shù)的最小正周期，推斷出在此區(qū)間共有多少個(gè)周期，利用每個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)推斷出共計(jì)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∵sin（2x+

π

6

）最大值為1，
∴f（x）_max=3+m=3，此時(shí)m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴對(duì)于區(qū)間[a，a+20π]的長(zhǎng)度為20π+a-a=20π，
∴在此區(qū)間上，函數(shù)f（x）可以有20個(gè)周期，
當(dāng)a=-

π

12

+kπ（k∈Z）時(shí)，在第一個(gè)周期內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，以后每個(gè)周期均由2個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：20×2+1=41．
當(dāng)a≠-

π

12

+kπ（k∈Z）時(shí)，在每個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：20×2=40．
綜合得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為40或41個(gè)，
故答案為：40或41．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．此題要特別考慮到a=-

π

12

+kπ這一特殊情況，防止漏解．