Question

是否存在常數(shù)a、b、c使等式1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）對(duì)于一切n∈N^*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

假設(shè)存在a、b、c使
1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）
對(duì)于一切n∈N^*都成立.
當(dāng)n=1時(shí)，a（b+c）=1；
當(dāng)n=2時(shí)，2a（4b+c）=6；
當(dāng)n=3時(shí)，3a（9b+c）=19.
解方程組 解得
證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a,b,c使等式成立.
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)等式成立，
即1²+2²+3²+…+k²+（k-1）²+…+2²+1²
=k（2k²+1）；
當(dāng)n=k+1時(shí)，
1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+（k-1）²+…+2²+1²
=k（2k²+1）+（k+1）²+k²
=k（2k²+3k+1）+（k+1）²
=k（2k+1）（k+1）+（k+1）²
=（k+1）（2k²+4k+3）
=（k+1）［2（k+1）²+1］.
即n=k+1時(shí)，等式成立.
因此存在a=，b=2，c=1，使等式對(duì)一切n∈N^*都成立.