Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x+a）-x²-bx，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為2x+y-1=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間，并求f（x）的極大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為2x+y-1=0，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用導數(shù)的正負，可得f（x）的單調性，從而可求f（x）的極大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x+a）-x²-bx，
∴f′（x）=e^x（x+a+1）-2x-b，
∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為2x+y-1=0，
∴f（0）=1，f′（0）=-2
∴a=1，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=（x+2）（e^x-2），
令f′（x）=0，得x=ln2或x=-2
∴x∈（-∞，-2）∪（ln2，+∞）時，f′（x）＞0；x∈（-2，ln2）時，f′（x）＜0
∴f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，-2），（ln2，+∞），單調減區(qū)間是（-2，ln2）
當x=-2時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4-e^-2．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性與極值，考查學生的計算能力，確定函數(shù)的解析式是關鍵．