設(shè)f(x)=ln(x2+1),g(x)=x2-.
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間,并證明對[-1,1]上的任意x1,x2,x3,都有F(x1)+F(x2)>F(x3);
(2)將y=f(x)的圖像向下平移a(a>0)個單位,同時將y=g(x)的圖像向上平移b(b>0)個單位,使它們恰有四個交點,求的取值范圍.
(1)在(-∞,-1)和(0,1)上單調(diào)遞增,在(-1,0)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,證明見解析(2)<<1+ln 2
【解析】(1)F(x)=ln(x2+1)-x2-,
F′(x)=.
F′(x),F(x)的值隨x值的變化如下表:
x | (-∞,-1) | (-1,0) | (0,1) | (1,+∞) |
F′(x) | + | - | + | - |
F(x) | ↗ | ↘ | ↗ | ↘ |
故F(x)在(-∞,-1)和(0,1)上單調(diào)遞增,在(-1,0)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在[-1,1]上F(x)的最小值F(x)min=F(0)=.
F(x)的最大值F(x)max=F(1)=F(-1)=ln 2.
因此F(x1)+F(x2)≥2F(x)min=1,
而F(x3)≤F(x)max=ln 2,
故F(x1)+F(x2)>F(x3).
(2)由題意可知y=ln(x2+1)-a與y=x2-+b的圖像恰有四個交點.
由ln(x2+1)-a=x2-+b,
則a+b=ln(x2+1)-x2+.
令F(x)=ln(x2+1)-x2+,
由(1)可知F(x)極小值=F(0)=,F(x)極大值=F(1)=ln 2.又F(4)=F(-4)<0<F(0),所以F(x)的大致圖像如圖所示,
圖(1)
要使y=a+b與y=F(x)恰有四個交點,則<a+b<ln 2.
由
得到(b,a)的可行域為如圖(2)所示的陰影部分.
圖(2)
又可視為點P(-1,-1)與可行域內(nèi)的點連線的斜率,
故<<1+ln 2.
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集3A講練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知點P(x,y)滿足則點Q(x+y,y)構(gòu)成的圖形的面積為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集1B講練習卷(解析版) 題型:選擇題
若集合A={0,1},B={-1,a2},則“a=1”是“A∩B={1}”的( )
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集19講練習卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≥0時,f(x)=2x.若對任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f2(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集19講練習卷(解析版) 題型:選擇題
“a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集18講練習卷(解析版) 題型:填空題
若曲線y=x-在點(m,m-)處的切線與兩坐標軸圍成三角形的面積為18,則m=________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集18講練習卷(解析版) 題型:選擇題
F1,F2是雙曲線C:=1(a>0,b>0)的兩個焦點,過左焦點F1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,則雙曲線的離心率是( )
A. B. C.2 D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集17講練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知回歸直線斜率的估計值為1.23,樣本點的中心為點(4,5),則回歸直線的方程為( )
A.=1.23x+4 B.=1.23x+5
C.=1.23x+0.08 D.=0.08x+1.23
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學文復(fù)習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集14講練習卷(解析版) 題型:選擇題
拋物線y2=8x的準線與雙曲線=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積為( )
A. B. C. D.2
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