如圖,M(a,0)(a>0)是拋物線y2=4x對稱軸上一點(diǎn),過M作拋物線的弦AMB,交拋物線與A,B.
(1)若a=2,求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程;
(2)若AB=8,求a的取值范圍.
分析:(1)分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)AB斜率存在時,由a=2,設(shè)其方程為y=k(x-2),弦AB中點(diǎn)為(x0,y0),聯(lián)立直線與拋物線方程消掉y得x的二次方程,由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k表示x0,y0,消掉k可得軌跡方程;當(dāng)AB斜率不存在時,易求弦中點(diǎn)坐標(biāo)代入上述方程檢驗(yàn)即可;
(2)當(dāng)AB斜率不存在時,由AB=8易求a值;當(dāng)AB斜率存在時,設(shè)其方程為y=k(x-a),代入拋物線方程得k2x2-(2ak2+4)x+a2k2=0,△>0,由弦長公式可用k表示出弦長,由題意知關(guān)于k的方程|AB|=8的方程有解,換元后轉(zhuǎn)化為二次方程有正根,利用二次方程根的分布可得不等式,解出即可;
解答:解:(1)當(dāng)AB斜率存在時,由a=2,設(shè)其方程為y=k(x-2),弦AB中點(diǎn)為(x0,y0),
y2=4x
y=k(x-2)
得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0,
△=16(k2+1)2-16k4=32k2+16>0,則
x0=
x1+x2
2
=
2k2+2
k2
=2+
2
k2
y0=
y1+y2
2
=
1
2
(kx1-2k+kx2-2k)=
2
k
,
消去k得y02=2x0-4(x0>2);
當(dāng)AB斜率不存在時,其方程為x=2,與拋物線相交,中點(diǎn)為(2,0),滿足y2=2x-4.
綜上所述,弦AB中點(diǎn)的軌跡方程y2=2x-4.             
(2)當(dāng)AB斜率不存在時,由AB=8,及拋物線的對稱性知,A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4,則橫坐標(biāo)為4,故此時a=4;                                  7′
當(dāng)AB斜率存在時,設(shè)其方程為y=k(x-a),代入拋物線方程得k2x2-(2ak2+4)x+a2k2=0,
△=4(ak2+2)2-4a2k4=16ak2+16>0,
x1+x2=
2ak2+4
k2
x1x2=a2
,
|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
1+k2
1+ak2
k2

4
1+k2
1+ak2
k2
=8有解,即方程(4-a)k4-(a+1)k2-1=0有解,
設(shè)t=k2(t>0),f(t)=(4-a)t2-(a+1)t-1=0  (1),
對于正數(shù)a,方程(1)一根為正一根為負(fù)的充要條件是
4-a>0
f(0)<0
,得0<a<4;                           
對于正數(shù)a,方程(1)兩根均為正的充要條件是
△>0
x1+x2>0
x1x2>0
,即
(a+1)2+4(4-a)>0
a+1
4-a
>0
-1
4-a
>0
,矛盾無解.                                        
綜上所述,a的取值范圍是(0,4].
點(diǎn)評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程的求解、弦長公式及二次方程根的分布問題,綜合性強(qiáng),運(yùn)算量大.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,M(a,0)(a>0)是拋物線y2=4x對稱軸上一點(diǎn),過M作拋物線的弦AMB,交拋物線與A,B.
(1)若a=2,求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程;
(2)過M作拋物線的另一條割線CMD(如圖),與拋物線交于CD,若AD與y軸交與點(diǎn)E,連ME,BC,求證:ME∥BC.

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M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn),且.

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(Ⅱ)設(shè)A(m,0)和B(,0)(0<m<1)是x軸上的兩點(diǎn).過點(diǎn)A作斜率不為0的直線l,使得l交雙曲線于C、D兩點(diǎn),作直線BC交雙曲線于另一點(diǎn)E.證明直線DE垂直于x軸.

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