Question

如圖，M（a，0）（a＞0）是拋物線y²=4x對(duì)稱軸上一點(diǎn)，過(guò)M作拋物線的弦AMB，交拋物線與A，B．
（1）若a=2，求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過(guò)M作拋物線的另一條割線CMD（如圖），與拋物線交于CD，若AD與y軸交與點(diǎn)E，連ME，BC，求證：ME∥BC．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)AB斜率存在時(shí)，由a=2，設(shè)其方程為y=k（x-2），聯(lián)立方程后，結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)公式，可得弦AB中點(diǎn)的軌跡方程；當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，其方程為x=2，與拋物線相交，中點(diǎn)為（2，0），最后綜合分類討論的結(jié)果，可得答案．
（2）用兩點(diǎn)式求得AB的方程為：y（t₂-t₁）+2t₁t₂=2x，CD的方程為：y（t₄-t₃）+2t₃t₄=2x，由AB，CD都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，故t₁t₂=t₃t₄=a，進(jìn)而求得k_ME=k_BC，根據(jù)直線平行的充要條件得到ME∥BC．

解答：解：（1）當(dāng)AB斜率存在時(shí)，由a=2，
設(shè)AB方程為：y=k（x-2），弦AB中點(diǎn)為（x₀，y₀）
由

y2=4x y=k(x-2)

得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0
△=16（k²+1）²-16k⁴=32k²+16＞0

x0= x1+x2 2 = 2k2+2 k2 =2+ 2 k2 y0= y1+y2 2 = 1 2 (kx1-2k+kx2-2k)= 2 k

消去k得y₀²=2x₀-4（x₀＞2）
當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，其方程為x=2，
與拋物線相交，中點(diǎn)為（2，0），
滿足y₀²=2x₀-4．
綜上所述，弦AB中點(diǎn)的軌跡方程y²=2x-4．          
（2）證明：設(shè)A（t₁²，2t₁），B（t₂²，2t₂），C（t₃²，-2t₃），D（t₄²，-2t₄），
其中t₁，t₂，t₃，t₄均為正數(shù)，
用兩點(diǎn)式求得AB的方程為：y（t₂-t₁）+2t₁t₂=2x 
CD的方程為：y（t₄-t₃）+2t₃t₄=2x
AB，CD都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，故t₁t₂=t₃t₄=a，
AD的方程為：y（t₄-t₁）+2t₁t₄=2x
AD與y軸交點(diǎn)為E（0，

2t1t4

t1-t4

）          
k_ME=

2t1t4

a(t4-t1)

而k_BC=

2t2+2t3

t22-t32

=

2

t2-t3

=

2

a t1 - a t4

=

2t1t4

a(t4-t1)

∴k_ME=k_BC，
∴ME∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，聯(lián)立方程，設(shè)而不求，韋達(dá)定理，是解答此類問(wèn)題的三架馬車(chē)．