已知點P是圓C:x2+y2=4上的動點.
(1)求點P到直線x+y-4=0的距離的最小值;
(2)若直線l與圓C相切,且l與x,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,求△ABC的面積最小時直線l的方程.
考點:直線和圓的方程的應用
專題:綜合題,直線與圓
分析:(1)由圓的性質可得:P到直線l:x+y-4=0的距離的最小值是圓心到直線l的距離減去半徑,結合點到直線的距離公式可得答案.
(2)設直線l的方程為:y=kx+b,根據(jù)題意可得:k<0,b>0,又因為l與圓C相切,得到b關于k的一個關系式,再用b與k表示出三角形的面積可得:S△ABC=
1
2
•(-
b
k
)•b
=
-(4k2+4)
2k
=2(-k+
1
-k
)≥4,然后利用基本不等式求出面積的最大值與k、b的值即可.
解答: 解:(1)圓心到直線l的距離為d=
|-4|
1+1
=2
2

所以P到直線l:x+y-4=0的距離的最小值為:2
2
-2;
(2)設直線l的方程為:y=kx+b,
因為l與x,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,所以k<0,b>0,且A(-
b
k
,0),B(0,b),
又因為l與圓C相切,
所以C點到直線l的距離等于圓的半徑2,即:
|b|
k2+1
=2,即b2=4k2+4,
所以S△ABC=
1
2
•(-
b
k
)•b
=
-(4k2+4)
2k
=2(-k+
1
-k
)≥4,
當且僅當k=-1時取等號,
所以當k=-1時,△ABC的面積最小,
此時b=2
2
,
所以直線l的方程為y=-x+2
2
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握圓的標準方程與圓的一個性質,以及結合點到直線的距離判斷直線與圓的位置關系.
練習冊系列答案
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已知tan(θ+
π
4
)=3,則sin2θ-2cos2θ=
 

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對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三個條件:
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0
②f(1)=1
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) 成立;則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).試證明下列三個命題:
(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),則f(0)=0;
(2)函數(shù)f(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函數(shù);
(3)若函數(shù)f(x)是理想函數(shù),假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0,則f(x0)=x0

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△ABC是等腰直角三角形,已知A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,點C在第一象限,點(x,y)在△ABC內部,則點C的坐標為
 
,z=2x-y的最大值是
 

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下列命題正確的是( 。
A、ac<bc⇒a<b
B、a<b⇒lga<lgb
C、
1
a
1
b
⇒a>b
D、
a
b
⇒a<b

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的定義域為A,
①如果對于任意x1、x2∈A,x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)<
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱函數(shù)f(x)是凹函數(shù).
②如果對于任意x1、x2∈A,x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱函數(shù)f(x)是凸函數(shù).
(1)判斷函數(shù)y=x2是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并加以證明;
(2)判斷函數(shù)f(x)=log2x是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并加以證明.

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已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A>0,ω>0,0≤ϕ≤π)的部分圖象如圖所示,則y=f(x)的解析式是f(x)=
 

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等比數(shù)列{an}共有20項,其中前四項的積是
1
128
,末四項的積是512,則這個等比數(shù)列的各項乘積是
 

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三次函數(shù)f(x)=ax3+x在x∈(-∞,+∞)內是增函數(shù),則(  )
A、a>0
B、a<0
C、a=1
D、a=
1
3

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