(2012•東城區(qū)一模)如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E,F(xiàn),P分別為AB,AC,BC上的點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,連接A1B,A1P.(如圖2)
(Ⅰ)若Q為A1B中點(diǎn),求證:PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ)求證:A1E⊥EP.
分析:(Ⅰ)取A1E中點(diǎn)M,利用三角形中位線的性質(zhì),可得QM∥BE,且QM=
1
2
BE
,進(jìn)一步可得QM∥PF,且QM=PF,從而四邊形PQMF為平行四邊形,可得PQ∥FM,利用線面平行的判定,可得PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ) 取BE中點(diǎn)D,可得△ADF是正三角形,從而可得EF⊥AD,即A1E⊥EF,根據(jù)平面A1EF⊥平面EFB,可得A1E⊥平面BEF,利用線面垂直的性質(zhì),可得A1E⊥EP.
解答:證明:(Ⅰ)取A1E中點(diǎn)M,連接QM,MF.
在△A1BE中,Q,M分別為A1B,A1E的中點(diǎn),
所以QM∥BE,且QM=
1
2
BE

因?yàn)?span id="cawgwee" class="MathJye">
CF
FA
=
CP
PB
=
1
2
,
所以PF∥BE,且PF=
1
2
BE
,
所以QM∥PF,且QM=PF.
所以四邊形PQMF為平行四邊形.
所以PQ∥FM.                                                …(5分)
又因?yàn)镕M?平面A1EF,且PQ?平面A1EF,
所以PQ∥平面A1EF.                                           …(7分)
(Ⅱ) 取BE中點(diǎn)D,連接DF.
因?yàn)锳E=CF=1,DE=1,
所以AF=AD=2,而∠A=60°,即△ADF是正三角形.
又因?yàn)锳E=ED=1,所以EF⊥AD.
所以在圖2中有A1E⊥EF.…(9分)
因?yàn)槠矫鍭1EF⊥平面EFB,平面A1EF∩平面EFB=EF,
所以A1E⊥平面BEF.…(12分)
又EP?平面BEF,
所以A1E⊥EP.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查空間線面位置關(guān)系,考查線面平行、線面垂直,解題的關(guān)鍵是掌握線面平行、線面垂直的判定方法,屬于中檔題.
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84
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