Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx．（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；（2）設定義在D上的函數y=g（x）在點P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=h（x），當x≠x₀時，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=g（x）的“Hold點”．當a=4時，試問函數y=f（x）是否存在“Hold點”，若存在，請求出“Hold點”的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,分類討論,導數的概念及應用,導數的綜合應用,直線與圓

分析：（1）求出函數的導數，求出單調區(qū)間，即可判斷極值；
（2）求出a=4的導數，求出切線方程，構造φ（x）=f（x）-m（x），求出導數，求出單調區(qū)間，運用單調性，注意新定義的運用，即可判斷是否存在．

解答： 解：（1）當a=1時，f′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0；當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
所以當x=

1

2

時，f（x）取極大值-

5

4

+ln

1

2

，
當x=1時，f（x）取極小值-2．                    
（2）當a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx的導數為f′（x）=2x-6+

4

x

，
函數y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=m(x)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+

x

2 0

-6x0+4lnx0．
設φ（x）=f（x）-m（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀-6+

4

x0

）（x-x₀）-（x₀²-6x₀+4lnx₀），則 φ′(x)=2x+

4

x

-6-(2x0+

4

x0

-6)=2(x-x0)(1-

2

xx0

)=

2

x

(x-x0)(x-

2

x0

)，
所以當x∈(x0，

2

x0

)時，φ′（x）＜0，則φ（x）＜φ（x₀）=0，此時

ϕ(x)

x-x0

＜0；
若x₀＞

2

，φ（x）在（

2

x0

，x₀）上單調遞減，所以當x∈（

2

x0

，x₀）時，φ（x）＞φ（x₀）=0，
此時

φ(x)

x-x0

＜0，所以f（x）在（0，

2

）∪（

2

，+∞）上不存在“Hold點”，
若x₀=

2

，φ′（x）=

2

x

（x-

2

）²＞0，則φ（x）在x＞0上遞增，
當x＞x₀時，φ（x）＞φ（x₀）=0，當x＜x₀時，φ（x）＜φ（x₀）=0，
則

φ(x)

x-x0

＞0，此時P是y=f（x）的“Hold點”．
綜上所述，y=f（x）存在“Hold點”，

2

是一個“Hold點”的橫坐標．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，求單調區(qū)間和極值，考查新定義的理解和運用，考查函數單調性的運用，考查推理和判斷能力，屬于中檔題．