Question

已知f（x）=2+

2

cos(2x+

π

4

)的圖象向左平移m個單位（m＞0），得到的圖象關于直線x=

17π

8

對稱．
（1）求m的最小值；
（2）已知方程f（x）=p在（0，π）內有兩個不相等的實根x₁，x₂，求p的取值范圍及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得平移后的函數解析式為y=2+

2

cos(2x+2m+

π

4

)，又由三角函數在其對稱軸處取得最值，可得x=

17π

8

時，y=2+

2

cos(2x+2m+

π

4

)取得最值，即可得m所有可能值，進而可求m的最小值；
（2）由于與三角型函數有關的方程有兩解，可以轉化為y=f（x）與y=p的圖象有兩個交點，利用數形結合來做．

解答：解：（1）f（x）圖象左移m個單位得到的函數表達式為y=2+

2

cos(2x+2m+

π

4

)…（2分）
又該圖象關于直線x=

17π

8

對稱，2×

17π

8

+2m+

π

4

=kπ，k∈Z…（4分）
得到m=

kπ

2

-

9π

4

，…（5分）
∵m＞0，
∴當k=5時，m的最小值為

π

4

…（6分）
（2）設t=2x+

π

4

，0＜x＜π，則y=2+

2

cost，

π

4

＜t＜

9π

4

…（7分）
f（x）=p在（0，π）內有兩個不相等的實根，
則cost=

p-2

2

在(

π

4

，

9π

4

)內有兩個不相等的實根，…（8分）
數形結合可得   -1＜

p-2

2

＜1，且

p-2

2

≠

2

2

，…（11分）
則2-

2

＜p＜2+

2

且p≠3…（12分）
當t1，t2∈(

π

4

，

7π

4

)時t₁+t₂=2π；當t1，t2∈(

7π

4

，

9π

4

)時t₁+t₂=4π．
即2x1+

π

4

+2x2+

π

4

=2π或2x1+

π

4

+2x2+

π

4

=4π…（13分）
∴x1+x2=

3π

4

或

7π

4

…（14分）

點評：本題考查了三角函數圖象變換及三角函數的一些性質．注意三角函數的有關題目常用數形結合來解決．