Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，則下列命題正確的是（　�。�

A、關(guān)于x的方程f（x）-k=0恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是k∈（-1，0）

B、關(guān)于x的方程f（x）=g（x）恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈[0，1]

C、當(dāng)m=1時(shí)，對?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）成立

D、若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞）

Answer 1

分析：分析f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m的函數(shù)性質(zhì)，對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．

解答：解：∵f（x）=-2|2|x|-1|+1，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-2|2|x|-1|+1是偶函數(shù)，
x＞0時(shí)，f（x）=-2|2x-1|+1=

-4x+3，x＞ 1 2 4x-1，0＜x＜ 1 2

，
∴f（x）=-2|2|x|-1|+1的圖象如圖所示，
∴關(guān)于x的方程f（x）-k=0恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是k∈（-1，1），即A不正確；
函數(shù)g（x）=x²-2|x|+m是偶函數(shù)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），顯然m=-

1

2

時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故B不正確；
?x₁∈[-1，0]，f（x₁）∈[-1，1]，x₂∈[-1，0]，g（x）=x²+2x+1∈[0，1]，
∴當(dāng)m=1時(shí)，對?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）不成立，即C正確；
對于D，?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）≥g（x₂）成立時(shí)，m≤-1，
∴若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞），故D不正確．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分析函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．