如圖,對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,An(xn,yn)是拋物線(xiàn)x2=4y上的點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)FAn交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)Bn(sn,tn),
(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線(xiàn)上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn).試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1)。

證明:(Ⅰ)對(duì)任意固定的n≥1,
因?yàn)榻裹c(diǎn)F(0,1),所以可設(shè)直線(xiàn)AnBn的方程為y-1=,
將它與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得。
(Ⅱ)對(duì)任意固定的n≥1,
利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線(xiàn)在An處的切線(xiàn)的斜率
在An處的切線(xiàn)方程為,①
類(lèi)似地,可求得在Bn處的切線(xiàn)方程為,②
由②減去①得,
從而
,
,③
將③代入①并注意得交點(diǎn)Cn的坐標(biāo)為(,-1),
由兩點(diǎn)間的距離公式得
從而,
現(xiàn)在,利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得,

 
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精英家教網(wǎng)如圖,對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,An(xn,yn)是拋物線(xiàn)x2=4y上的點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)FAn交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)Bn(sn,tn).
(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線(xiàn)上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn).試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

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(22)如圖,對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,An(xn,yn)是拋物線(xiàn)x2=4y上的點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)FA.交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)Bn(sn,tn).

(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);

(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線(xiàn)上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn).試證:

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1).

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(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線(xiàn)上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn).試證:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

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