【題目】如圖,已知梯形CDEF與△ADE所在平面垂直,AD⊥DE,CD⊥DE,AB∥CD∥EF,AE=2DE=8,AB=3,EF=9.CD=12,連接BC,BF.
(Ⅰ)若G為AD邊上一點,DG= DA,求證:EG∥平面BCF;
(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)∵梯形CDEF與△ADE所在平面垂直,AD⊥DE,CD⊥DE,AB∥CD∥EF, ∴以D為原點,DC為x軸,DE為y軸,DA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AE=2DE=8,AB=3,EF=9.CD=12,連接BC,BF.G為AD邊上一點,DG= DA,
∴E(0,4,0),G(0,0, ),B(3,0,4 ),C(12,0,0),F(xiàn)(9,4,0),
=(9,0,﹣4 ), =(6,4,﹣4 ), =(0,﹣4, ),
設(shè)平面BCF的法向量 =(x,y,z),
則 ,取z=3 ,得 =(4,3,3 ),
∵ =﹣12+12=0,EG平面BCF,
∴EG∥平面BCF.
解:(Ⅱ) =(3,﹣4,4 ), =(9,0,0),
設(shè)平面BEF的法向量 =(a,b,c),
則 ,取c=1, =(0, ,1),
平面BFC的法向量 =(4,3,3 ),
設(shè)二面角E﹣BF﹣C的平面角為θ,
則cosθ= = = .
∴二面角E﹣BF﹣C的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)以D為原點,DC為x軸,DE為y軸,DA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明EG∥平面BCF.(Ⅱ)求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣BF﹣C的余弦值.
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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【題目】有下列四個命題:
①垂直于同一條直線的兩條直線平行;
②垂直于同一條直線的兩個平面平行;
③垂直于同一平面的兩個平面平行;
④垂直于同一平面的兩條直線平行.
其中正確的命題有(填寫所有正確命題的編號).
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【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直,AB=BD,∠CBA=∠CBD= ,則直線AD與平面BCD所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知過點A(0,4),且斜率為的直線與圓C:,相交于不同兩點M、N.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)求證:為定值;
(3)若O為坐標(biāo)原點,問是否存在以MN為直徑的圓恰過點O,若存在則求的值,若不存在,說明理由。
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【題目】已知命題恒成立;命題方程表示雙曲線.
(1)若命題為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若命題“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點O為極點,x軸為正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A,且點A的極坐標(biāo)為(2 ,θ),其中θ∈( ,π)
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)若射線OA與直線l相交于點B,求|AB|的值.
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【題目】已知直線l:y=k(x+2)與圓O:x2+y2=4相交于不重合的A、B兩點,O是坐標(biāo)原點,且三點A、B、O構(gòu)成三角形.
(1)求k的取值范圍;
(2)三角形ABO的面積為S,試將S表示成k的函數(shù),并求出它的定義域;
(3)求S的最大值,并求取得最大值時k的值.
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【題目】設(shè)拋物線x2=4y的焦點為F,過點F作斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于A、B兩點,且點P恰為AB的中點,過點P作x軸的垂線與拋物線交于點M,若|MF|=4,則直線l的方程為( )
A.
B.y= x+1
C.
D.
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