Question

 

    已知函數(shù)其中為常數(shù)，且。

(I)當時，求函數(shù)的極值點；

(II)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解法一：（Ⅰ）依題意得，所以，     .………………………1分

         令，得，                                .………………………2分

         ，隨x的變化情況入下表：

x
	－	0	+	0	－
		極小值		極大值

 

………………………4分

         由上表可知，是函數(shù)的極小值點，是函數(shù)的極大值點.

………………………5分

（Ⅱ）   ,                         .………………………6分

由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對任意恒成立，

.………………………7分

      當時，，顯然對任意恒成立；    .…………………8分

      當時，等價于，

因為，不等式等價于,

.………………………9分

      令，

      則，在上顯然有恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為，            .………………………11分

由于對任意恒成立等價于對任意恒成立，

需且只需，即，解得，因為，所以.

綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為.

.………………………13分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）,                        .………………………6分

由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對任意恒成立，

      即對任意恒成立，                …………………7分

      當時，，顯然對任意恒成立；    …………………8分

         當時，令，則函數(shù)圖象的對稱軸為，

.………………………9分

         若，即時，函數(shù)在單調(diào)遞增，要使對任意恒成立，需且只需，解得，所以;   ..………………………11分

         若，即時，由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，假如對任意恒成立，則有，解得，與矛盾，所以不能對任意恒成立.

綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為.  .………………………13分