【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且時(shí),數(shù)列滿足,,對(duì)任意,都有.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)令若對(duì)任意的,不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1),.(2)
【解析】
(1)根據(jù),變形為,用累乘法求解,根據(jù),且,利用等比中項(xiàng)得到數(shù)列是等比數(shù)列,求得通項(xiàng).
(2)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得,用錯(cuò)位相減法求得, 再根據(jù)不等式,對(duì)任意的恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立,令求其最大值即可.
(1)當(dāng)時(shí),,即.
,
又,也滿足上式,故數(shù)列的通項(xiàng)公式.
由,且,知數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)公比均為,
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式,
(2).
<1>,
<2>,
由<1>-<2>,得,
,
,
因?yàn)椴坏仁?/span>,對(duì)任意的恒成立,
即,對(duì)任意的恒成立,
即恒成立.
即恒成立,
令.
則,
因?yàn)?/span>,所以單調(diào)遞增且大于0,
所以 單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,且,故,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)設(shè)函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正四面體P-ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論不成立的是 ( )
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下給出五個(gè)命題,其中真命題的序號(hào)為______
①函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是或;
②“任意菱形的對(duì)角線一定相等”的否定是“菱形的對(duì)角線一定不相等”;
③,;
④若,則;
⑤“”是“成等比數(shù)列”的充分不必要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),若,則的值為( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】
根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式,利用題目所給已知條件,求得弦長(zhǎng).
根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式有.故選B.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式,即.要注意只有過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)才可以使用.屬于基礎(chǔ)題.
【題型】單選題
【結(jié)束】
10
【題目】已知橢圓: 的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為、,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,且,則橢圓的方程為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若,求證:有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
(3)若為整數(shù),且當(dāng)時(shí),恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為,且離心率.
(1)求雙曲線的方程;
(2)求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得,根據(jù)離心率及求得的值,進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法求得弦所在直線的斜率,再由點(diǎn)斜式求得弦所在的直線方程.
(1) 由題可得,,∴,,
所以雙曲線方程 .
(2)設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為,,
則由點(diǎn)差法有: , 上下式相減有:
又因?yàn)?/span>為中點(diǎn),所以,,
∴,所以由直線的點(diǎn)斜式可得,
即直線的方程為.
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查利用點(diǎn)差法求解有關(guān)弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題,屬于中檔題
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】某投資公司計(jì)劃投資,兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資金額的函數(shù)關(guān)系為,產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資金額的函數(shù)關(guān)系為.(注:利潤(rùn)與投資金額單位:萬元)
(1)該公司已有100萬元資金,并全部投入,兩種產(chǎn)品中,其中萬元資金投入產(chǎn)品,試把,兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和表示為的函數(shù),并寫出定義域;
(2)試問:怎樣分配這100萬元資金,才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和為4.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知直線和的傾斜角均為,直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相交于, 兩點(diǎn),直線過點(diǎn)且與曲線是交于, 兩點(diǎn),求證:對(duì)任意, .
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