【題目】已知函數(shù),若處的切線為

(Ⅰ)求實(shí)數(shù),的值;

(Ⅱ)若不等式對(duì)任意恒成立,求的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè)其中,證明:

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析

【解析】

(Ⅰ)求出,,建立方程,求解即可得到結(jié)論;

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,令

,而是偶函數(shù),只需時(shí),恒成立,注意,只需單調(diào)遞增即可,若存在單調(diào)遞減,則不恒成立,轉(zhuǎn)化為研究單調(diào)性,即可求解;

(Ⅲ)由,利用(Ⅱ)的結(jié)論,可得,.進(jìn)而得到

,將分別用,代入得到個(gè)不等式,相加即可證明結(jié)論.

(Ⅰ)由,得;

,得

根據(jù)題意可得,解得;

(Ⅱ)解法一:由不等式對(duì)任意恒成立知恒成立,令,

顯然為偶函數(shù),故當(dāng)時(shí),恒成立.

,令,

,令,

顯然上的增函數(shù),故,

上單調(diào)遞增,

①當(dāng),即時(shí),,

則有上單調(diào)遞增,故,

上單調(diào)遞增,故,符合題意;

②當(dāng),即時(shí),因?yàn)?/span>,

故存在,使得,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),,

上單謂遞減,故矛盾.

綜上,

解法二:由不等式對(duì)任意恒成立,

恒成立,當(dāng)時(shí),不等式成立;

當(dāng)時(shí),,令,

由于為偶函數(shù),故只需考慮的情況即可.

當(dāng)時(shí),

,,

,,

當(dāng)時(shí),,故上單調(diào)遞增,

因此當(dāng)時(shí),,故上單調(diào)遞增,

即有,故,

所以上單調(diào)遞增,由洛必達(dá)法則有,故

(Ⅲ)解法一:

,

由(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立;,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

因此有,

,

以上個(gè)式子相加得

解法二:由(Ⅱ)知,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)同時(shí)成立.

,

,

以上個(gè)式子相加得

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1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元,X表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.

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