已知偶函數(shù)y=f(x)滿足:當x≥2時,f(x)=(x-2)(a-x),a∈R,當x∈[0,2)時,f(x)=x(2-x)
(1)求當x≤-2時,f(x)的表達式;
(2)若直線y=1與函數(shù)y=f(x)的圖象恰好有兩個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
(3)試討論當實數(shù)a,m滿足什么條件時,函數(shù)g(x)=f(x)-m有4個零點且這4個零點從小到大依次成等差數(shù)列.
分析:(1)先設x≤-2,則-x≥2,再利用函數(shù)是偶函數(shù)可求;(2)分a>2與a≤2進行討論可求;(3)問題等價于f(x)=m零點x1,x2,x3,x4,y=f(x)與y=m交點4個且均勻分布,從而可解.
解答:解:(1)設x≤-2,則-x≥2,∴f(-x)=(-x-2)(a+x)
又∵偶函數(shù)∴f(x)=f(-x)f(x)=(x+a)(-x-2)(2分)
(2)(Ⅰ)a>2時x≥2,f(x)=(x-2)(a-x)
f(x)max=f(1+)=(-1)2(3分)
(Ⅱ)a≤2時,都滿足
綜上,所以 a<4(2分)
(3)f(x)=m零點x
1,x
2,x
3,x
4,y=f(x)與y=m交點4個且均勻分布
(Ⅰ)a≤2時
得
x1=3x2,x1=-,x2=-,x3=,x4=(2分)
m=(Ⅱ)2<a<4時,
m=時
且
(-1)2<-+2<a<+2(2分)
所以
2<a<+2時,
m=(Ⅲ)a=4時m=1時 (1分)
(IV)a>4時,m>1
?x4=,m=(-2)(a-)=此時
1<m<(-1)2所以
a>ora<(舍)a>4且
a>時,
m=時存在 (2分)
綜上:
①
a<2+時,
m=②a=4時,m=1
③
a>時,
m=符合題意(1分)
點評:本題考查函數(shù)的性質(zhì),解析式的求解及分類討論的數(shù)學思想.