Question

13．已知曲線E：x²+ny²=n²，直線l：y=kx+m（其中|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若n∈R，試判斷曲線E的形狀；
（2）若n=2，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在曲線E上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)n=0時(shí)，x=0，表示直線x=0，當(dāng)n＜0時(shí)，表示以焦點(diǎn)在x軸上，以2n為實(shí)軸，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$為焦距的雙曲線，當(dāng)n＞0時(shí)，n＞1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上，以2n為長(zhǎng)軸，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$為焦距的橢圓，0＜n＜1時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上，以2$\sqrt{n}$為長(zhǎng)軸，以2$\sqrt{n-{m}^{2}}$為焦距的橢圓，n=1時(shí)，表示圓心在原點(diǎn)，以1為半徑的圓；
（2）先對(duì)k 分類(lèi)討論：當(dāng)k=0時(shí)，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由點(diǎn)到直線的距離公式可知：|OP|=$\sqrt{2}$；當(dāng)k≠0時(shí)，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得|OP|的取值范圍，從而解決問(wèn)題．

解答 解：（1）當(dāng)n=0時(shí)，x²=0，x=0，
曲線E的形狀表示直線x=0，
當(dāng)n＜0時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{-n}=1$，表示以焦點(diǎn)在x軸上，以2n為實(shí)軸，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$為焦距的雙曲線，
當(dāng)n＞0時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，
當(dāng)n²＞n，即n＞1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上，以2n為長(zhǎng)軸，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$為焦距的橢圓，
當(dāng)n²＜n，即0＜n＜1時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上，以2$\sqrt{n}$為長(zhǎng)軸，以2$\sqrt{n-{m}^{2}}$為焦距的橢圓，
當(dāng)n²=n，即n=1時(shí)，表示圓心在原點(diǎn)，以1為半徑的圓；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
當(dāng)k=0時(shí)，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|OP|=$\sqrt{2}$；
當(dāng)k≠0時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消y化簡(jiǎn)整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（4k²-m²-2＞0①
設(shè)A，B，P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則x₀=x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
由于點(diǎn)P在橢圓C上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}=1$．
從而$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+\frac{2{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}=1$，化簡(jiǎn)得2m²=1+2k²，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足①式，
又|OP|=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，
∵0＜|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴1＜1+2k²≤2，
∴1≤$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$＜2，
∴$\sqrt{2}$＜|OP|≤$\sqrt{3}$，
綜上，所求|OP|的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題．當(dāng)研究橢圓和直線的關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，�？衫�用聯(lián)立方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理來(lái)解決，屬于中檔題．