Question

某高校的自主招生考試數(shù)學(xué)試卷共有8道選擇題，每個(gè)選擇題都給了4個(gè)選項(xiàng)（其中有且僅有一個(gè)是正確的）．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每題只選1項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分．某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其中兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷其中一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對(duì)于這8道選擇題，試求：
（1）該考生得分為40分的概率；
（2）該考生所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

解：（1）要得40分，8道選擇題必須全做對(duì)，在其余四道題中，有兩道題答對(duì)的概率為，有一道題答對(duì)的概率為，還有一道題答對(duì)的概率為，所以，得40分的概率為 ．
（2）依題意，該考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對(duì)了四道題，其余各題都做錯(cuò)，
故所求概率為；
同樣可求得得分為25分的概率為；
得分為30分的概率為；
得分為35分的概率為；
得分為40分的概率為．
于是ξ的分布列為：

ξ	20	25	30	35	40
P

故．
該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．
分析：（1）要得40分，8道選擇題必須全做對(duì)，在其余四道題中，每個(gè)題答對(duì)的概率分別為 ，，，．
（2）依題意，該考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，求出得分ξ的取每個(gè)值的概率，列出分布列，從而求得
所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立事件的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，求出離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率，是解題的
難點(diǎn)．