如圖,在直三棱柱中,平面側(cè)面,且
(1) 求證:;
(2) 若直線與平面所成的角為,求銳二面角的大小。
(1)過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).

試題分析:本題以直三棱柱為背景,考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),作出輔助線AD,即可得到,利用面面垂直的性質(zhì),得到,再利用線面垂直的性質(zhì),得到,同理,得到,利用線面垂直的判定,得到側(cè)面,從而利用線面垂直的性質(zhì),得到;第二問(wèn),可以利用傳統(tǒng)幾何法,證明二面角的平面角為,在三角形中,利用邊角關(guān)系解出角的值,還可以利用向量法,建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算出平面和平面的法向量,利用夾角公式計(jì)算.
試題解析:(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接,                    1分

,則                            2分
由平面側(cè)面,且平面側(cè)面,    3分
,又平面,            
所以.              4分
因?yàn)槿庵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060242360667.png" style="vertical-align:middle;" />是直三棱柱,
,
所以.
,從而側(cè)面 ,
側(cè)面,故.                7分
(2)解法一:連接,由(1)可知,則內(nèi)的射影∴ 即為直線所成的角,則        8分
在等腰直角中,,且點(diǎn)中點(diǎn)
,且
                                                 9分
過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn),連
由(1)知,則,且
即為二面角的一個(gè)平面角                  10分
且直角中:
,
∴ ,且二面角為銳二面角
,即二面角的大小為                 14分
解法二(向量法):由(1)知,所以以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,且設(shè),則
,        ,           ,            
,  ,   ,      9分
設(shè)平面的一個(gè)法向量
,  得:
 令 ,得 ,則              10分
設(shè)直線所成的角為,則
,解得,即      12分
又設(shè)平面的一個(gè)法向量為,同理可得,
設(shè)銳二面角的大小為,則
,且,得
∴ 銳二面角的大小為。                              14分
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(1)證明:為線段的中點(diǎn);
(2)求二面角的余弦值.

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在正方體ABC口-A1B1C11中,E是棱A1B1的中點(diǎn),則A1B與口1E所成角的余弦值為( 。
A.
5
10
B.
10
10
C.
5
5
D.
10
5

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對(duì)于平面α,β,γ和直線a,b,m,n,下列命題中真命題是( 。
A.若a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,則a⊥α
B.若αβ,α∩γ=a,β∩γ=b則ab
C.若ab,b?α,則aα
D.若a?β,b?β,aα,bα,則βα

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三棱錐P-ABC,PA⊥面ABC,AC⊥BC,點(diǎn)E、F分別是A在PB、PC上的射影,則(  )
A.∠EAF是二面角B-PA-C的平面角
B.∠AFE是二面角A-PC-B的平面角
C.∠FEA是二面角C-PB-A的平面角
D.∠PCB是二面角P-AC-B的平面角

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在長(zhǎng)方體中,AB=BC=2,,則與平面所成角的正弦值為(    )
A.B.C.D.

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