Question

平面直角坐標(biāo)系xoy中，動點(diǎn)滿足：點(diǎn)P到定點(diǎn)與到y(tǒng)軸的距離之差為．記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于x軸．

Answer 1

（1），（2）詳見解析.

試題分析：（1）求動點(diǎn)軌跡方程，首先設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)，本題已設(shè)，其次列動點(diǎn)滿足條件，然后利用坐標(biāo)化簡關(guān)系式，即，，最后要考慮動點(diǎn)滿足限制條件，本題為已知條件，另外本題對條件的化簡也可從拋物線的定義上理解，這樣更快，（2）證明直線平行于軸，可利用斜率為零，或證明縱坐標(biāo)相等，總之都需要從坐標(biāo)出發(fā).注意到點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)可簡潔，設(shè)的坐標(biāo)為 ，利用三點(diǎn)共線解出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，根據(jù)直線與直線的交點(diǎn)解出的縱坐標(biāo)也為.
試題解析：（1）依題意：             2分
      4分
                6分
注：或直接用定義求解.
（2）法1：設(shè)，直線的方程為
由   得           8分

直線的方程為 點(diǎn)的坐標(biāo)為    2分

直線平行于軸.              14分
法2：設(shè)的坐標(biāo)為，則的方程為
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，             8分
 直線的方程為
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.           12分
軸；當(dāng)時，結(jié)論也成立，
直線平行于軸.               14分