【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0). (I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2(x1<x2),且f(x1)﹣f(x2)≥ ﹣2ln2恒成立,求a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)= ,令x2﹣ax+1=0,則△=a2﹣4,
①0<a≤2時,△≤0,f′(x)≥0恒成立,
函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增;
②a>2時,△>0,方程x2﹣ax+1=0有兩根
x1= ,x2= ,且0<x1<x2,
函數(shù)f(x)在(0,x1)上f′(x)>0,
在(x1,x2)上,f′(x)<0,在(x2,+∞)上,f′(x)>0,
故函數(shù)f(x)在(0, )遞增,在( , )遞減,在( ,+∞)遞增;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)在(x1,x2)上遞減,x1+x2=a,x1x2=1,
則f(x1)﹣f(x2)=2ln +(x1﹣x2)(x1+x2﹣2a)=2ln + ﹣ ,
令t= ,則0<t<1,f(x1)﹣f(x2)=2lnt+ ﹣t,
令g(t)=2lnt+ ﹣t,則g′(t)=﹣ <0,
故g(t)在(0,1)遞減且g( )= ﹣2ln2,
故g(t)=f(x1)﹣f(x2)≥ ﹣2ln2=g( ),即0<t≤ ,
而a2= = + +2=t+ +2,其中0<t≤ ,
∵(t+ +2)′=1﹣ ≤0在t∈(0, ]恒成立,
故a2=t+ +2在(0, ]遞減,
從而a的范圍是a2≥ ,
故a≥
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)得到x1+x2=a,x1x2=1,則f(x1)﹣f(x2)=2ln +(x1﹣x2)(x1+x2﹣2a)=2ln + ﹣ ,令t= ,則0<t<1,f(x1)﹣f(x2)=2lnt+ ﹣t,令g(t)=2lnt+ ﹣t,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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【題目】已成橢圓 的左右頂點分別為 ,上下頂點分別為 ,左右焦點分別為 ,其中長軸長為4,且圓 為菱形 的內(nèi)切圓.
(1)求橢圓 的方程;
(2)點 為 軸正半軸上一點,過點 作橢圓 的切線 ,記右焦點 在 上的射影為 ,若 的面積不小于 ,求 的取值范圍.
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【題目】已知兩個集合A,B,滿足BA.若對任意的x∈A,存在ai , aj∈B(i≠j),使得x=λ1ai+λ2aj(λ1 , λ2∈{﹣1,0,1}),則稱B為A的一個基集.若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},則其基集B元素個數(shù)的最小值是 .
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【題目】已知橢圓C: 的離心率為 ,M為C上除長軸頂點外的一動點,以M為圓心, 為半徑作圓,過原點O作圓M的兩條切線,A、B為切點,當M為短軸頂點時∠AOB= . (Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的右焦點為F,過點F作MF的垂線交直線x= a于N點,判斷直線MN與橢圓的位置關(guān)系.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若函數(shù)f(x)有最大值M,則M的取值范圍是( )
A.( ,0)
B.(0, ]
C.(0, ]
D.( , ]
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且2Sn=4an﹣1. (Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=anan+1﹣2,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,若這200名學生中每周的自習時間不超過m小時的人數(shù)為164,則m的值約為( )
A.26.25
B.26.5
C.26.75
D.27
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【題目】如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面AEFG所截后得到的,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.
(1)求證:BD⊥平面ADG;
(2)求此多面體的全面積.
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【題目】宿州市某登山愛好者為了解山高y(百米)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了4次山高與相應(yīng)的氣溫,并制作了對照表,由表中數(shù)據(jù),得到線性回歸方程為y=﹣2x+a,由此估計山高為72(百米)處的氣溫為( )
氣溫x(℃) | 18 | 13 | 10 | ﹣1 |
山高y(百米) | 24 | 34 | 38 | 64 |
A.﹣10
B.﹣8
C.﹣6
D.﹣4
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