【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(x﹣1)ex
(1)當a=﹣ 時,求f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)當﹣ <a<﹣ 時,f(x)是否存在極值?若存在,求所有極值的和的取值范圍.

【答案】
(1)解:當a= 時,f(x)= x2+(x﹣1)ex

∴f(1)= ,

f′(x)=﹣(e+1)x+xex,∴f′(1)=﹣1

切線方程為:y+ =﹣(x﹣1),

即:2x+2y+e﹣1=0


(2)解:f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a)

①當2a≥0即a≥0時,f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

②當﹣ <a<0時,f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a))上單調(diào)遞增,

在(ln(﹣2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

③當a=﹣ 時,f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增;

④當a<﹣ 時,f(x)在(﹣∞,0))上單調(diào)遞增,

在(0,ln(﹣2a))上單調(diào)遞減,在(ln(﹣2a),+∞)上單調(diào)遞增


(3)解:由(2)知,當﹣ <a<﹣ <0時,

f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a))上單調(diào)遞增,在(ln(﹣2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

∴x1=ln(﹣2a)為極大值點,x2=0為極小值點,所有極值的和即為f(x1)+f(x2),

f(x1)+f(x2)=ax12+(x1﹣1) ﹣1

∵x1=ln(﹣2a),∴a=﹣

∴f(x1)+f(x2)=﹣ x12+(x1﹣1) ﹣1= (﹣ x12+x1﹣1)﹣1

∵﹣ <a<﹣ ,∴ <﹣2a<1,∴﹣1<x1=ln(﹣2a)<0,

(x)=ex (﹣ x2+x﹣1)﹣1(﹣1<x<0)

′(x)=ex (﹣ x2)<0∴(x)在(﹣1,0)單調(diào)遞減

(0)<(x)<(﹣1)

即﹣2<(x)<﹣ ﹣1

∴所有極值的和的取值范圍為(﹣2,﹣


【解析】(1)當a= 時,求出f′(x)=﹣(e+1)x+xex , 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能出f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程.(2)f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a),由此根據(jù)a≥0,﹣ <a<0,a=﹣ ,a<﹣ ,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f(x)的單調(diào)性.(3)推導(dǎo)出x1=ln(﹣2a)為極大值點,x2=0為極小值點,所有極值的和即為f(x1)+f(x2),f(x1)+f(x2)=ax12+(x1﹣1) ﹣1,由此利用導(dǎo)性質(zhì)能求出所有極值的和的取值范圍.
【考點精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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