如圖，某城市有一條從正西方AO通過(guò)市中心O后向東北O(jiān)B，現(xiàn)要修一條地鐵L，在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站，地鐵在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，設(shè)地鐵在AB部分的總長(zhǎng)度為ykm．
（1）按下列要求建立關(guān)系式：
（i）設(shè)∠OAB=α，將y表示為α的函數(shù)；
（ii）設(shè)OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短，并求出最短距離．

【答案】分析：（1）（i）過(guò)O作OH⊥AB于H，則由及直角三角形的三角關(guān)系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可
（ii） 由等面積原理得，可求AB
（2）選擇方案一：結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求AB的最小值
選擇方案二：由余弦定理得=，結(jié)合基本不等式可求AB的最小值
解答：解：（1）（i）過(guò)O作OH⊥AB于H
由題意得，
且
即AH=10cotα…（2分）
即…（4分）
∴==…（8分）
（ii） 由等面積原理得，即…（10分）
（2）選擇方案一：當(dāng)時(shí)，…（12分）
此時(shí)，而
所以．                         …（14分）
選擇方案二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190821972781792/SYS201310241908219727817015_DA/21.png">，
由余弦定理得=
∴…（12分）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，綜合考查了基本不等式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是合理的把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，某城市設(shè)立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級(jí)公路QC，現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點(diǎn)A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC．已知通往一級(jí)公路的道路AC每公里造價(jià)為a萬(wàn)元，通往高速公路的道路AB每公里造價(jià)是m2a萬(wàn)元，其中a，r，m為常數(shù)，設(shè)∠POA=θ，總造價(jià)為y萬(wàn)元．
（1）把y表示成θ的函數(shù)y=f（θ），并求出定義域；
（2）當(dāng)m=
6
+
2
2
時(shí)，如何確定A點(diǎn)的位置才能使得總造價(jià)最低？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，某城市有一條從正西方AO通過(guò)市中心O后向東北O(jiān)B，現(xiàn)要修一條地鐵L，在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站，地鐵在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，設(shè)地鐵在AB部分的總長(zhǎng)度為ykm．
（1）按下列要求建立關(guān)系式：
（i）設(shè)∠OAB=α，將y表示為α的函數(shù)；
（ii）設(shè)OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短，并求出最短距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2015屆江蘇省沭陽(yáng)縣高一下學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，某城市設(shè)立以城中心為圓心、公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城中心正東方向上有一條高速公路、西南方向上有一條一級(jí)公路，現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點(diǎn)A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓相切的直道．已知通往一級(jí)公路的道路每公里造價(jià)為萬(wàn)元，通往高速公路的道路每公里造價(jià)是萬(wàn)元，其中為常數(shù)，設(shè)，總造價(jià)為萬(wàn)元．

（1）把表示成的函數(shù)，并求出定義域；

（2）當(dāng)時(shí)，如何確定A點(diǎn)的位置才能使得總造價(jià)最低？

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過(guò)市中心O后轉(zhuǎn)向東北方OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在AO上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10千米，問(wèn)把A、B分別設(shè)在公路中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短，并求其最短距離.

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