Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且短軸一頂點(diǎn)滿(mǎn)足．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線(xiàn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)直線(xiàn)，內(nèi)切圓面積的最大值為

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，由

可得，又，由此可求橢圓方程；

（2）設(shè)，不妨，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為8，，因此最大，就最大．設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論

試題解析：（1）由題，設(shè)橢圓方程，不妨設(shè)，則，∴，故橢圓方程為．

（2）設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則的周長(zhǎng)為8，面積，因此最大，就最大，由題知，直線(xiàn)的斜率不為零，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得，則，

令，則，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故有，即當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為．

故直線(xiàn)，內(nèi)切圓面積的最大值為．