Question

如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的
半徑都是2km，點P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地．
（1）如圖甲，要建的活動場地為△RST，求場地的最大面積；
（2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積．

Answer 1

（1）如右圖，過S作SH⊥RT于H，
S_△RST=．                ……………………2分
由題意，△RST在月牙形公園里，
RT與圓Q只能相切或相離；                                   ……………………4分
RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，
則有RT≤4，SH≤2，
當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立．
此時，場地面積的最大值為S_△RST==4（km²）．           ……………………6分
（2）同(1)的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，
AD必須切圓Q于P，再設∠BPA=，則有
．
……………………8分
令，則
．          ………………… 11分
若，，
又時，，時，，                  …………………14分
函數(shù)在處取到極大值也是最大值，
故時，場地面積取得最大值為（km²）．                  …………………16分

略