【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PA⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,BC=2,PA= ,E為BC的中點(diǎn).
(1)證明:PE⊥ED;
(2)求二面角E﹣PD﹣A的大小.
【答案】
(1)證明:如圖,
在△ABC中,∵AB=1,BC=2,AB⊥AC,
∴cosB= , B=60°,又E為BC的中點(diǎn),
∴△ABE為正三角形,則AE=1,
在△AED中,∵AE=1,AD=2,∠EAD=60°,
∴ ,
∴AE2+ED2=AD2,則AE⊥ED.
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥ED,
∵PA∩AE=A,∴ED⊥平面PAE,則PE⊥ED;
(2)解:∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD,
過(guò)E作EG⊥AD,垂足為G,則EG⊥平面PAD,∴EG⊥PD,
過(guò)G作GH⊥PD,垂足為H,連接EH,
∴PD⊥平面EGH,則PD⊥EH.
則∠EHG為二面角E﹣PD﹣A的平面角.
在Rt△AED中,由AE=1,AD=2,ED= ,可得EG= ,
∴GD= ,
由△PAD∽△GHD,可得 ,即GH= = .
∴tan ,即∠EHG=60°.
∴二面角E﹣PD﹣A的大小為60°
【解析】(1)在△ABC中,由題意可得△ABE為正三角形,則AE=1,在△AED中,求解三角形可得AE⊥ED.然后利用線面垂直的判定可得ED⊥平面PAE,從而得到PE⊥ED;(2)由PA⊥平面ABCD,得平面PAD⊥平面ABCD,然后找出二面角E﹣PD﹣A的平面角.求解三角形可得二面角E﹣PD﹣A的大小.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處有極值10.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
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【題目】下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是( )
A.y=﹣log2x
B.y=sinx
C.
D.y=arccosx
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|< )的最高點(diǎn)D的坐標(biāo)( ,2),由D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相鄰最低點(diǎn)時(shí)函數(shù)曲線與x軸的交點(diǎn)( ,0)
(1)求f(x)的解析式
(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在區(qū)間[ ,2]上,函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=2x+ 在同一點(diǎn)取得相同的最小值,那么f(x)在[ ,2]上的最大值是( )
A.
B.
C.8
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 的最大值為
D. 既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)
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【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,其中成績(jī)分組區(qū)間如下:
組號(hào) | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;
(Ⅲ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率?
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