【題目】如圖,在三棱柱中,已知平面,,,.
(1) 求證:;
(2) 求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)直棱柱的關(guān)系先證明和進而證明平面,從而得到即可.
(2)建立以為坐標原點,以,,所在的直線分別為,,軸的空間直角坐標系,再求出的向量與平面的法向量求解即可.
解:(1)如圖,連接,因為平面,平面,平面,所以,.
又,所以四邊形為正方形,所以.
因為,所以.又平面,平面,,所以,平面
因為平面,所以.
又平面,平面,,所以平面.
因為平面,所以
(2)解法1:在中,,,,所以.
又平面,,所以三棱錐的體積
易知,,,
所以
設(shè)點到平面的距離為,則三棱錐的體積,
由等體積法可知,則,解得 .
設(shè)直線與平面所成的角為,則,
故直線與平面所成角的正弦值為
解法2:(2)由(1)知,,,兩兩垂直,以為坐標原點,以,,所在的直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.因為,.
所以,,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,則,即,
令,,所以為平面的一個法向量,
則
設(shè)直線與平面所成的角為,則,
故直線與平面所成角的正弦值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,
(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=3,且對任意的x1∈[-1,2],總存在,使g(x1)-f(x2)=0成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程及離心率;
(Ⅱ)過點的直線與橢圓交于,兩點,若點滿足,求證:由點 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對稱.
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【題目】已知某公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為萬元,且
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當年產(chǎn)量為多少萬只時,該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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【題目】省環(huán)保廳對、、三個城市同時進行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測,測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個,三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示:
城 | 城 | 城 | |
優(yōu)(個) | 28 | ||
良(個) | 32 | 30 |
已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機抽取一個,恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.
(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù);
(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.
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【題目】一個函數(shù),如果對任意一個三角形,只要它的三邊長、、都在的定義域內(nèi),就有、、也是某個三角形的三邊長,則稱為“雙三角形函數(shù)”.
(1)判斷,,中,哪些是“雙三角形函數(shù)”,哪些不是,并說明理由;
(2)若是定義在上周期函數(shù),值域為,求證:不是“雙三角形函數(shù)”;
(3)已知函數(shù),,求證:函數(shù)是“雙三角形函數(shù)”.(可利用公式“”)
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