已知拋物線C1:y=x2+2xC2y=-x2+a.如果直線l同時是C1C2的切線,稱lC1C2的公切線,公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段.

(1)a取什么值時,C1C2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程.

(2)若C1C2有兩條公切線,證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.

(1)解:函數(shù)y=x2+2x的導數(shù)y′=2x+2,曲線C1在點P(x1,x21+2x1)的切線方程是y-(x21+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x21. 、

函數(shù)y=-x2+a的導數(shù)y′=-2x,曲線C2在點Qx2,-x22+a)的切線方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a. 、

如果直線l是過PQ的公切線,則①式和②式都是l的方程消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).

由Δ=0,得a=-,解得x1=-,此時PQ重合,即當a=-時,C1C2有且僅有一條公切線.

由①得公切線方程為y=x-.

(2)證明:由(1)可知,當a<-時,C1C2有兩條公切線,設(shè)一條公切線上切點為Px1,y1)、Q(x2,y2),其中PC1上,QC2上,則有x1+x2=-1,y1+y2=x21+2x1+(-x22+a)=x21+2x1-(x1+1)2+a=-1+a,線段PQ的中點為().

同理,另一條公切線段PQ′的中點也是(),

所以公切線段PQPQ′互相平分.

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已知拋物線C1:y=2x2與拋物線C2關(guān)于直線y=-x對稱,則C2的準線方程是(    )

A.x=-             B.x=             C.x=              D.x=-

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如圖,已知拋物線C1:y=x2,與圓C2:x2+(y+1)2=1,過y軸上一點A(0,a)(a>0)作圓C2的切線AD,切點為D(x0,y0).

(1)證明(a+1)(y0+1)=1;

(2)若切線AD交拋物線C1于點E,且E為AD的中點,求點A縱坐標a.

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