試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)集合意義,在
處導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041503481723.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
f ′(1)=2, 又切點(diǎn)為(1,-2),所以所求切線方程為y+2=2(x-1),(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)性之所以要討論,就是由于導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)根的不確定性.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240415035281002.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)a=0時(shí),方程
在定義域內(nèi)只有一根;當(dāng)
時(shí),需討論兩根
的大小,三種情況0<a<
,a=
,及a>
需一一討論.解題過程中,最易忽視的是兩根相等的情況;答題時(shí)最易出錯(cuò)的是將兩個(gè)單調(diào)性相同的不連續(xù)區(qū)間用“并集”“或”合并寫.
試題解析:解(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x+4lnx,
從而
,其中x>0. 2分
所以f′(1)=2.
又切點(diǎn)為(1,-2),
所以所求切線方程為y+2=2(x-1),即2x-y-4=0. 4分
(2)因?yàn)閒(x)=ax
2-(4a+2)x+4lnx,
所以
,其中x>0.
①當(dāng)a=0時(shí),
,x>0.
由f′(x)>0得,0<x<2,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,2);單調(diào)減區(qū)間是(2,+∞); 6分
②當(dāng)0<a<
時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041503356327.png" style="vertical-align:middle;" />>2,由f ′(x)>0,得x<2或x>
.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,2)和(
,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(2,
); 8分
③當(dāng)a=
時(shí),
,且僅在x=2時(shí),f ′(x)=0,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞);
④當(dāng)a>
時(shí),因0<
<2,由f ′(x)>0,得0<x<
或x>2,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,
)和(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(
,2).
綜上,
當(dāng)a=0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,2),單調(diào)減區(qū)間是(2,+∞);
當(dāng)0<a<
時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,2)和(
,+∞),減區(qū)間為(2,
);
當(dāng)a=
時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞);
當(dāng)a>
時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,
)和(2,+∞),減區(qū)間為(
,2). 10分