Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x、y，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立，若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且（n∈N^*），則a₂₀₁₁的值為

1. A.
   4017
2. B.
   4018
3. C.
   4019
4. D.
   4021

Answer 1

D
分析：因為是選擇題，可用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題意，可令f（x）=，從而很容易地求得則a₁=f（0）=1，再由 （n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．
解答：根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=
則a₁=f（0）=1，
∵（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₁₁=4021
故選D
點評：本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．對于客觀題不妨靈活處理，進而來提高效率，拓展思路，提高能力．