Question

在中，，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，曲線E過點(diǎn)C且滿足|PA|+|PB|為常數(shù)。
（1）求曲線E的方程；
（2）是否存在直線L，使L與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分？若存在，求出L的斜率的取值范圍；若不存在說明理由。

Answer 1

（1）略（2）

本試題主要是考查了橢圓方程求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件，易知，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225538411661.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以，
由|PA|+|PB|的值為常數(shù)知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，表示得到參數(shù)k的等式，進(jìn)而求解其范圍。
解：（1）易知，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225538411661.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以，
由|PA|+|PB|的值為常數(shù)知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 ------4分
其中  ------6分
（2）假設(shè)L存在，因?yàn)長與直線相交，所以直線L有斜率，
設(shè)L的方程為   ----------------7分
由得 （*） ------9分
因?yàn)橹本�L與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)
所以（*）的判別式 ① -----10分
設(shè)，則    -------------11分
因?yàn)镸N被直線平分
所以 ②  ----------12分
把②代入①得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225539003558.png" style="vertical-align:middle;" /> 所以  ---------------13分 
所以所以或
即直線L的斜率取值范圍是   ------------14分