Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2）（k∈R），若|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀；
（2）當(dāng)k=

4

3

時(shí)，已知F₁（0，-1）、F₂（0，1），點(diǎn)P軌跡T在第一象限的一點(diǎn)，且滿足|

PF1

|-|

PF2

|=1，若點(diǎn)Q是軌跡T上不同于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，問是否存在以PQ為直徑的圓G過點(diǎn)F₂，若存在，求出圓G的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，可得

a

⊥

b

，結(jié)合

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2），可得kx²+y²-4=0，分類討論，即可得出結(jié)論；
（2）求出P的坐標(biāo)，設(shè)Q（x，y），存在以PQ為直徑的圓G過點(diǎn)F₂，則F₂P⊥F₂Q，可得Q的坐標(biāo)，即可求出圓G的方程．

解答： 解：（1）∵|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，
∴

a

⊥

b

，
∵

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2），
∴kx²+y²-4=0，
k=0時(shí)，y²-4=0，表示直線；
k≠0時(shí)，方程為

x2

4 k

+

y2

4

=1，k＜0表示雙曲線；0＜k＜1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；k=1表示圓；k＞1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
（2）當(dāng)k=

4

3

時(shí)，方程為

x2

3

+

y2

4

=1．
|

PF1

|-|

PF2

|=1＜|F₁F₂|，故P滿足方程

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（x＞0，y＞0），
兩方程聯(lián)立可得P（

3

2

，1）
設(shè)Q（x，y），存在以PQ為直徑的圓G過點(diǎn)F₂，則F₂P⊥F₂Q，
∴（

3

2

，0）•（x，y-1）=0，
∴x=0，
∴y=±2，
∴Q（0，±2），
Q（0，2），此時(shí)PQ的中點(diǎn)（

3

4

，

3

2

），|PQ|=

9 4 +1

=

13

2

，∴圓G的方程為（x-

3

4

）²+（y-

3

2

）²=

13

16

；
Q（0，-2），此時(shí)PQ的中點(diǎn)（

3

4

，-

1

2

），|PQ|=

9 4 +9

=

3 5

2

，∴圓G的方程為（x-

3

4

）²+（y+

1

2

）²=

45

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．