Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，D是SC的中點(diǎn)，已知∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，SA=2，求：
（1）三棱錐S-ABC的體積；
（2）異面直線BC與AD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)錐體的體積公式，先求出三角形ABC的面積，然后利用體積公式計(jì)算體積即可．
（2）利用直線平行的性質(zhì)，求出異面直線所成角的大小．

解答：解：（1）∵∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，∴S△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∵SA⊥底面ABC，SA=2，
∴三棱錐S-ABC的高為SA=2，
三棱錐S-ABC的體積V=

1

3

S△ABC•SA=

1

3

×2

3

×2=

4

3

3

．
（2）取SB中點(diǎn)E，連結(jié)DE、AE，則ED∥BC，
所以∠ADE（或其補(bǔ)角）是異面直線BC與AD所成的角．
在△ADE中，DE=2，AE=

2

，AD=2
由余弦定理，得cos∠ADE=

22+22-2

2×2×2

=

3

4

，
∴異面直線BC與AD所成的角的余弦值為

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查三棱錐的體積公式以及異面直線所成角的大小，要求熟練掌握相應(yīng)的計(jì)算公式．