Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若設(shè)二面角S-BC-A為45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大�。�

Answer 1

分析：（1）AH⊥SB?AH⊥平面SBC?SA⊥BC?BC⊥平面SAB?BC⊥AB．
（2）二面角S-BC-A為45°?∠SBA=45°?二面角A-SC-B為60°

解答：（1）證明：作AH⊥SB于H，
∵平面SAB⊥平面SBC，
∴AH⊥平面SBC．
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．
SA在平面SBC上的射影為SH，
∴BC⊥SB．又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．
∴BC⊥AB．
（2）解：∵SA⊥平面ABC，
∴平面SAB⊥平面ABC．又平面SAB⊥平面SBC，
∴∠SBA為二面角S-BC-A的平面角．
∴∠SBA=45°．設(shè)SA=AB=BC=a．
作AE⊥SC于E，連接EH，則EH⊥SC，∠AEH為二面角A-SC-B的平面角，
AH=

2

2

a，AC=

2

a，SC=

3

a，AE=

6

3

a，
∴sin∠AEH=

3

2

，二面角A-SC-B為60°．

點評：本題借助于線面垂直與面面垂直來證線線垂直，是立體幾何的常見題型