【題目】如圖,在直角梯形SABC中,∠B=∠C= ,D為邊SC上的點,且AD⊥SC,現(xiàn)將△SAD沿AD折起到達(dá)PAD的位置(折起后點S記為P),并使得PA⊥AB.
(1)求證:PD⊥平面ABCD;
(2)已知PD=AD,PD+AD+DC=6,G是AD的中點,當(dāng)線段PB取得最小值時,則在平面PBC上是否存在點F,使得FG⊥平面PBC?若存在,確定點F的位置,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)證明:∵PA⊥AB,AB⊥AD,PA⊥AD=A,
∴AB⊥平面PAD,
∵PD平面PAD,
∴AB⊥PD,
∵PD⊥AD,AD∩AB=A,
∴PD⊥平面ABCD
(2)解:設(shè)PD=x,則AD=x,DC=6﹣2x,
∴PB2=x2+x2+(6﹣2x)2=6(x﹣2)2+12,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,PB2取得最小值,
即PB取得最小值,
取PC的中點M,PB的中點N,
則DM⊥平面PBC,
∵四邊形DMNG是平行四邊形,
∴GN∥DM,
GN⊥平面PBC,
∴在平面PBC上存在點F,即PB的中點,使FG⊥平面PBC.
【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PD⊥平面ABCD;(2)根據(jù)線面垂直的判定定理以及直線平行的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題.
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【題目】已知過拋物線 的焦點,斜率為 的直線交拋物線于 , ( )兩點,且 .
(1)求該拋物線的方程;
(2) 為坐標(biāo)原點, 為拋物線上一點,若 ,求 的值.
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【題目】某淘寶商城在2017年前7個月的銷售額 (單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表,已知與具有較好的線性關(guān)系.
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)分析該淘寶商城2017年前7個月的銷售額的變化情況,并預(yù)測該商城8月份的銷售額.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
, .
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時,若對任意的,總存在使成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若的值域為區(qū)間,是否存在常數(shù),使區(qū)間的長度為?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.(柱:區(qū)間的長度為)
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【題目】已知命題 :方程 表示焦點在 軸上的橢圓,命題 :雙曲線 的離心率 ,若命題 , 中有且只有一個為真命題,求實數(shù) 的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列滿足:
(1) 證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2) 求使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值;
(3) 如果常數(shù)0 < t < 3,對于任意的正整數(shù)k,都有成立,求t的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列,,為數(shù)列的前項和,向量,,
.
(1)若,求數(shù)列通項公式;
(2)若,.
①證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
②設(shè)數(shù)列滿足,問是否存在正整數(shù),,且,,使得、、成等比數(shù)列,若存在,求出、的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】(本小題滿分12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字,,,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次,每次抽取張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的數(shù)字,,不完全相同”的概率.
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