【題目】如圖1,在等腰梯形ABCD中,,EAD的中點.現(xiàn)分別沿BE,ECABE ECD折起,使得平面ABE⊥平面BCE,平面ECD⊥平面BCE,連接AD,如圖2.

(1)若在平面BCE內(nèi)存在點G,使得GD∥平面ABE,請問點G的軌跡是什么圖形?并說明理由.

(2)求平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)點G的軌跡是直線MN,見解析;(2)

【解析】

1)分別取的中點,連接,,根據(jù)線線平行可證明平面平面,則可判斷點的軌跡;(2)以點為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,分別求兩個平面的法向量,代入公式求解.

(1)點G的軌跡是直線MN.

理由:如圖,分別取BC和CE的中點N和M,連接DM,MN,ND,則MN//BE.

又MN平面BEA,BE平面BEA,所以MN//平面BEA.

依題意有△ABE,△BCE,△ECD均為邊長為2的正三角形,所以MD⊥CE.

又平面ECD⊥平面BCE,則MD⊥平面BCE.又平面ABE⊥平面BCE,所以MD//平面BEA.

所以平面NMD//平面BEA,則點G的軌跡是直線MN.

(2)如圖,以點M為坐標原點,MB所在直線為x軸,MC所在直線為y軸,MD所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,則E(0,-1,0),D(0,0,),A,所以,.

設(shè)平面AED的法向量為,則

,得. 取平面BCE的一個法向量為

, 所以平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值為.

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