Question

【題目】某公司設(shè)計(jì)如圖所示的環(huán)狀綠化景觀帶，該景觀帶的內(nèi)圈由兩條平行線段（圖中的AB，DC）和兩個(gè)半圓構(gòu)成，設(shè)AB=xm，且x≥80．

（1）若內(nèi)圈周長為400m，則x取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？
（2）若景觀帶的內(nèi)圈所圍成區(qū)域的面積為 m2 ， 則x取何值時(shí)，內(nèi)圈周長最��？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)半圓的半徑為r，

可得2x+2πr=400，即x+πr=200，

矩形ABCD的面積為S=2xr= xπr≤ （ ）2= ，

當(dāng)且僅當(dāng)x=πr=100m時(shí)，矩形的面積取得最大值 m2

（2）解：設(shè)半圓的半徑為r，

由題意可得πr2+2xr= ，可得2x= ﹣πr，

即有內(nèi)圈周長c=2x+2πr= +πr，

由x≥80，可得 ﹣πr≥160，

解得0＜πr≤90，

可得f（r）= +πr，f′（r）=π﹣ ，

即有f（r）在（0， ]上遞減，

即有πr=90，即x=80m時(shí)，周長c取得最小值340m

【解析】（1）設(shè)半圓的半徑為r，可得x+πr=200，矩形ABCD的面積為S=2xr= xπr，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值及x的值；（2）設(shè)半圓的半徑為r，由題意可得2x= ﹣πr，即有內(nèi)圈周長c=2x+2πr= +πr，由x≥80，求得r的范圍，設(shè)出f（r）= +πr，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求最小值及x的值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解基本不等式在最值問題中的應(yīng)用(用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”)．