Question

如圖，三角形中，，是邊長(zhǎng)為的正方形，平面⊥底面，若、分別是、的中點(diǎn)．

（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

Answer 1

詳見解析

試題分析：（1）根據(jù)：面面平行，線面平行的定理，所以取的中點(diǎn),連,分別為的中點(diǎn)，所以,然后根據(jù)面面平行的判定定理證明面//面,進(jìn)一步證得∥底面；（2）根據(jù),證得是直角，根據(jù)面面垂直，的性質(zhì)定理，結(jié)合是邊長(zhǎng)為的正方形，得,證得線線垂直，線面垂直；（3）取中點(diǎn),即,幾何體看成四棱錐的體積，代入公式,根據(jù)面面垂直，線面垂直的性質(zhì)定理等可證，,代入數(shù)字，得到結(jié)果.
試題解析：（I）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，（如圖）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707227433.png" style="vertical-align:middle;" />分別是和的中點(diǎn)，
所以，，       2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707305528.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，   所以，從而，
所以平面，平面，，
所以平面//平面，
所以//平面.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707305528.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以，所以平面，     4分
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707539533.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，所以平面，             6分
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707617700.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707648641.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以平面.                     8分
（3）連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707742511.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，                   9分
又平面⊥平面，平面，所以⊥平面。
因?yàn)槿�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034706868469.png" style="vertical-align:middle;" />是等腰直角三角形，所以，            11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034707118613.png" style="vertical-align:middle;" />是四棱錐，
所以=.