Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的拋物線，反比例函數(shù)的圖象（雙曲線）與直線的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，.

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）采用待定系數(shù)法，分別假設(shè)兩函數(shù)解析式，根據(jù)所過(guò)點(diǎn)和交點(diǎn)距離可構(gòu)造方程求得參數(shù)，從而得到兩函數(shù)解析式，進(jìn)而求得結(jié)果；

（2）令，可化簡(jiǎn)為，從而確定是方程一個(gè)解；

令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個(gè)數(shù)的討論；分別在、和三種情況下求得根的個(gè)數(shù)，并驗(yàn)證根與是否相同，從而得到結(jié)果.

（1）設(shè)

設(shè)，由可得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為和

兩個(gè)交點(diǎn)之間距離為，解得：

（2）由（1）知：

令，即 是方程的一個(gè)解

令，即

當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)根

當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根

解方程得：

當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根

解方程得：，

令，解得：（舍），

令，方程無(wú)解；

，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)