Question

設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)f（x）=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設(shè)t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）求g（a）；
（3）試求滿足g（a）=g（

1

a

）的所有實數(shù)a．

Answer 1

分析：（1）令t=

1+x

+

1-x

，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，進而得m（t）的解析式．
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，分a＞0、a=0、a＜0三種情況利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最大值為g（a）；
（3）分類討論，求得g（a）的范圍，即可求得滿足g（a）=g（

1

a

）的所有實數(shù)a．

解答：解：（1）∵t=

1+x

+

1-x

，要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，
∴t的取值范圍是[

2

，2]．
由①得：

1-x2

=

1

2

t²-1，∴m（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，
∵直線t=-

1

a

是拋物線m（t）=

1

2

at²+t-a的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
1°當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上單調(diào)遞增，故g（a）=m（2）=a+2；
2°當(dāng)a=0時，m（t）=t，在t∈[

2

，2]上單調(diào)遞增，有g(shù)（a）=2；
3°當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-

1

a

∈（0，

2

]即a≤-

2

2

時，g（a）=m（

2

）=

2

，
若t=-

1

a

∈（

2

，2]即a∈（-

2

2

，-

1

2

]時，g（a）=m（-

1

a

）=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈（-

1

2

，0）時，g（a）=m（2）=a+2．
綜上所述，有g(shù)（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

；
（3）當(dāng)a＞-

1

2

時，g（a）=a+2＞

3

2

＞

2

a∈（-

2

2

，-

1

2

]時，-a∈[

1

2

，

2

2

]，-a≠-

1

2a

g（a）=-a-

1

2a

＞2

(-a)•(- 1 2a )

=

2

∴a＞-

2

2

時，g（a）＞

2

當(dāng)a＞0時，

1

a

＞0，由g（a）=g（

1

a

）可得a+2=

1

a

+2，∴a=1；
當(dāng)a＜0時，a•

1

a

=1，∴a≤-1或

1

a

≤-1
∴g（a）=

2

或g（

1

a

）=

2

要使g（a）=g（

1

a

），只需a≤-

2

2

，

1

a

≤-

2

2

，∴-

2

≤a≤-

2

2

綜上，滿足g（a）=g（

1

a

）的所有實數(shù)a-

2

≤a≤-

2

2

或a=1．

點評：本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，函數(shù)解析式求解的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．