Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設(shè)t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）令t=

1+x

+

1-x

，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，再由t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，可得t的取值范圍是[

2

，2]，進(jìn)而得m（t）的解析式．
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，直線t=-

1

a

是拋物線m（t）=

1

2

at2+t-a的對稱軸，分a＞0、a=0、a＜0三種情況利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最大值為g（a）．

解答：解：（1）∵t=

1+x

+

1-x

，∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，∴t的取值范圍是[

2

，2]．
由①得：

1-x2

=

1

2

t2-1，∴m(t)=a(

1

2

t2-1)+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，
∵直線t=-

1

a

是拋物線m（t）=

1

2

at2+t-a的對稱軸，∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：
1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上單調(diào)遞增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）當(dāng)a=0時(shí)，m（t）=t，在t∈[

2

，2]上單調(diào)遞增，有g(shù)（a）=2；
3）當(dāng)a＜0時(shí)，，函數(shù)y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-

1

a

∈(0，

2

]即a≤-

2

2

時(shí)，g（a）=m(

2

)=

2

，
若t=-

1

a

∈(

2

，2]即a∈(-

2

2

，-

1

2

]時(shí)，g（a）=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈(-

1

2

，0)時(shí)，g（a）=m（2）=a+2．
綜上所述，有g(shù)（a）=

a+2   (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a  (- 2 2 ＜a≤- 1 2 ) 2   (a≤- 2 2 )

．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，函數(shù)解析式求解的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．