Question

【題目】定義在上的函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】

（1）求導(dǎo)可得，再求得極值點(diǎn)，并分析與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，進(jìn)而求得在區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）根據(jù)（1）所得的單調(diào)性，分析極值點(diǎn)的正負(fù)或等于是否滿足條件，再結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)，利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.

.

（1）時(shí)，恒成立，令，得.

①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

則在恒成立，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng),即時(shí),在上恒成立，

則在恒成立,在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)，即時(shí)，若，

即時(shí),，單調(diào)遞減；

若，即時(shí)，,單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而，此時(shí)無零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則有或.

,

解得.

，解得，故.

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，在上存在唯一零點(diǎn).

綜上可知，或.