Question

已知函數(shù)f（x）=log_x（x+1），若整數(shù)k∈[3，2014]，且使f（3）•f（4）•f（5）…f（k）為整數(shù)，則k的最大值為

 

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Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得 f（3）•f（4）•f（5）…f（k）=log₃（k+3）為整數(shù)，可得k+3=3ⁿ （n∈Z）．再由k∈[3，2014]，k∈（N^*），求得k的值，可得結(jié)論．

解答： 解：由題意可得 f（3）•f（4）•f（5）…f（k）=log₃4•log₄5•log₅6…log_（k+2）（k+3）=log₃（k+3）為整數(shù)，
可得 k+3=3ⁿ （n∈Z）．
又∵k∈[3，2014]，k∈（N^*），∴k=6，24，…728，
k的最大整數(shù)為：728．
故答案為：728；

點評：本題考查的知識點是對數(shù)的性質(zhì)，其中利用換底公式的推論log_ab•log_bc=log_ac是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．